这篇博客主要为了整理分析中上、下极限的概念,进行归纳理解,其中涉及到的命题、性质等摘自教材数学分析教程(史济怀,常庚哲),数学分析(陈纪修)。
一、上确界和下确界
定义1.1(上确界) 设 \(E \subset \mathbb{R}\) 是非空有上界的集合,实数 \(\beta\) 满足下述两个条件:
(1) \(\beta\) 是 \(E\) 的上界: \(\forall x \in E\), 有 \(x \le \beta\),
(2) 任何小于 \(\beta\) 的数都不是 \(E\) 的上界: 对任意的 \(\epsilon > 0\), 必可找到一个 \(x_{\epsilon} \in E\), 使得 \(x_{\epsilon} > \beta - \epsilon.\)
则称 \(\beta\) 为集合 \(E\) 的上确界, 记为 \(\beta = \sup E\).
注:
1) 由定义1.1知,\(E\) 的上确界 \(\beta\) 是 \(E\) 的最小上界;
2) 由 \(\beta = \sup E\) 可知,存在 \(x_k \in E(k=1,2,\cdots)\),使得 \(\lim\limits_{k\to \infty} x_k = \beta\).
定义1.2(下确界) 设 \(E \subset \mathbb{R}\) 是非空有下界的集合,实数 \(\alpha\) 满足下述两个条件:
(1) \(\alpha\) 是 \(E\) 的下界: \(\forall x \in E\), 有 \(x \ge \alpha\),
(2) 任何大于 \(\alpha\) 的数都不是 \(E\) 的下界: 对任意的 \(\epsilon > 0\), 必可找到一个 \(y_{\epsilon} \in E\), 使得 \(y_{\epsilon} < \alpha + \epsilon.\)
则称 \(\alpha\) 为集合 \(E\) 的下确界, 记为 \(\alpha = \inf E\).
注:
1) 由定义1.2知,\(E\) 的下确界 \(\alpha\) 是 \(E\) 的最大下界。
2) 由 \(\alpha = \inf E\) 可知,存在 \(y_k \in E(k=1,2,\cdots)\),使得 \(\lim\limits_{k\to \infty} y_k = \alpha\);
3) \(\sup(-E) = -\inf E\) 或 \(\inf (-E) = -\sup E\).
补充定义: 若 \(E\) 是一个没有上界的集合,则 \(\sup E = +\infty\); 若 \(E\) 没有下界,则 \(\inf E = -\infty\).
例1: \(E = (0,1)\), 这时 \(\sup E = 1\), \(\inf E = 0\).
例2: \(E = \lbrace \frac1n : n=1,2,\cdots\rbrace\), 这时 \(\sup E = 1\), \(\inf E = 0\).
例3: \(E = \lbrace \sqrt{n}: n=1,2,\cdots\rbrace\), 这时 \(\sup E = +\infty\), \(\inf E = 1\).
二、数列上、下极限第一种定义方式
对任意给定的数列 \(\lbrace a_n \rbrace\), 分为下述两种情况:
(1) 若该数列有界,由Bolzano-Weierstrass定理知, 可以选出一个收敛的子列 \(a_{n_k}\), 使得 \(\lim\limits_{k\to \infty} a_{n_k} = l\), 称 \(l\) 为 \(\lbrace a_n \rbrace\) 的一个极限点;
(2) 若该数列无上界(下界),必有子列发散至正(负)无穷大, 这时把 \(+\infty\) 和 \(-\infty\) 也看成是极限点。
注:
1) Bolzano-Weierstrass定理: 从任何有界的数列中必可选出一个收敛的子列。
2) \(l\) (有限)为 \(\lbrace a_n \rbrace\) 的一个极限点 等价于 对任意 \(\epsilon>0\), 存在 \(\lbrace a_n \rbrace\) 中的无穷多项落在 \((l - \epsilon, l + \epsilon)\) 中。
3) \(l = +\infty\ (\text{或}-\infty)\) 为极限点 等价于 对任意 \(G>0\), 存在 \(\lbrace a_n \rbrace\) 中的无穷多项,使得 \(a_n >G\ (\text{或}a_n <-G)\).
4)对一个数列而言,极限点可以有无穷多个,比如取 \(\lbrace 1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,\cdots\rbrace\).
定义2.1 设 \(\lbrace a_n \rbrace\) 是一个数列,令 \(E = \lbrace \lbrace a_n \rbrace \text{的所有极限点的全体}\rbrace\). 记 \[a^\ast = \sup E,\ \ a_\ast = \inf E,\] 这时 \(a^{\ast}\) 和 \(a_\ast\) 分别称为数列 \(\lbrace a_n \rbrace\) 的上极限和下极限,记为 \[a^\ast = \limsup\limits_{n\to \infty} a_n, \ a_\ast = \liminf\limits_{n\to \infty} a_n.\] 注:
1) \(E\) 显然非空。另外,若 \(\lbrace a_n \rbrace\) 是有界数列,则 \(E\) 是非空的有界集合,此时上、下极限 \(a^\ast\) 和 \(a_\ast\) 都是有限的。
2) 上、下极限取值范围为广义实数 \(R_{\infty} = R \cup \lbrace +\infty,-\infty\rbrace\).
例4: 设数列 \(a_n = n^{(-1)^n}\ (n=1,2,\cdots)\), 由于 \(a_{2n} = 2n\), \(a_{2n+1} = \frac{1}{2n+1}\), 则 \(E = \lbrace 0, +\infty\rbrace\), 从而 \[ \limsup\limits_{n\to \infty} a_n = +\infty, \ \liminf\limits_{n\to \infty} a_n = 0.\] 例5: 设数列 \(a_n = 1+ n\sin\frac{n\pi}{2}\ (n=1,2,\cdots)\). 简单计算得 \(E = \lbrace 1,-\infty,+\infty\rbrace\), 从而 \[ \limsup\limits_{n\to \infty} a_n = +\infty, \ \liminf\limits_{n\to \infty} a_n = -\infty.\]
当 \(E\) 中元素有限时,\(a^\ast\) 和 \(a_\ast\) 显然落在 \(E\) 中,当 \(E\) 是一个无穷集合时, \(a^\ast\) 和 \(a_\ast\) 是否仍然是 \(E\) 中的元素。下面两个定理予以刻画:
定理2.2(上极限:重点!!!) 设 \(a^\ast\) 和 \(E\) 如定义2.1所述, 则
(1) \(a^\ast \in E\);
(2) 针对 \(a^\ast\) 的取值,分成以下三种情况:
(i) 当 \(a^\ast\) 有限时, 对任意 \(\epsilon>0\), 数列 \(\lbrace a_n \rbrace\) 中有无穷多项落在 \((a^\ast - \epsilon, a^\ast + \epsilon)\) 中,而只有有限多项落在 \((a^\ast + \epsilon,+\infty)\) 上;
(ii) 当 \(a^\ast = +\infty\) 时,对任意 \(N>0\), 在 \(\lbrace a_n \rbrace\) 中必有无穷多项大于 \(N\);
(iii) 当 \(a^\ast = -\infty\) 时, 这时数列 \(\lbrace a_n \rbrace\) 以 \(-\infty\) 为极限。
具体证明见:https://swt-2020.github.io/limit/Thm_2.2.pdf
注:
1) 由定理2.2(1)知,\(a^\ast = \max E\), 即数列 \(\lbrace a_n \rbrace\) 的上极限为它的所有收敛子列极限中的最大值。换言之,上极限必为 \(\lbrace a_n \rbrace\) 的一个收敛子列的极限。
2) 设 \(\lbrace a_n \rbrace\) 是有界数列, 则 \(a^\ast = \limsup\limits_{n\to \infty} a_n\) 等价于
(i) 对任意 \(\epsilon >0\), 存在正整数 \(N\), 使得对任意 \(n > N\) 有 \(a_n < a^\ast + \epsilon\). (换言之,数列 \(\lbrace a_n \rbrace\) 中只有有限项落在 \(a^\ast + \epsilon\) 右边);
(ii) 对任意 \(\epsilon >0\), \(\lbrace a_n \rbrace\) 中有无穷多项,满足 \(a_n > a^\ast - \epsilon\).
具体证明见:https://swt-2020.github.io/limit/Remark_2.pdf
类似的,对下极限我们有:
定理2.3(下极限:重点!!!) 设 \(a_\ast\) 和 \(E\) 如定义2.1所述, 则
(1) \(a_\ast \in E\);
(2) 针对 \(a_\ast\) 的取值,分成以下三种情况:
(i) 当 \(a_\ast\) 有限时, 对任意 \(\epsilon>0\), 数列 \(\lbrace a_n \rbrace\) 中有无穷多项落在 \(a_\ast\) 的 \(\epsilon\) 邻域 \((a_\ast - \epsilon, a_\ast + \epsilon)\) 中,而只有有限多项落在 \((-\infty, a_\ast -\epsilon)\) 上;
(ii) 当 \(a_\ast = -\infty\) 时,对任意 \(N>0\), 在 \(\lbrace a_n \rbrace\) 中必有无穷多项小于 \(-N\);
(iii) 当 \(a_\ast = +\infty\) 时, 这时数列 \(\lbrace a_n \rbrace\) 以 \(+\infty\) 为极限。
注:
1) 由定理2.3(1)知,\(a_\ast = \min E\), 即数列 \(\lbrace a_n \rbrace\) 的下极限为它的所有收敛子列极限中的最小值。换言之,下极限必为 \(\lbrace a_n \rbrace\) 的一个收敛子列的极限。
2) 设 \(\lbrace a_n \rbrace\) 是有界数列, 则 \(a_\ast = \liminf\limits_{n\to \infty} a_n\) 等价于
(i) 对任意 \(\epsilon >0\), 存在正整数 \(N\), 使得对任意 \(n > N\) 有 \(a_n > a_\ast - \epsilon\). (换言之,数列 \(\lbrace a_n \rbrace\) 中只有有限项落在 \(a_\ast - \epsilon\) 左边);
(ii) 对任意 \(\epsilon >0\), \(\lbrace a_n \rbrace\) 中有无穷多项,满足 \(a_n < a_\ast + \epsilon\).
(重点!!!)由定理2.2和定理2.3可知,当 \(\lbrace a_n \rbrace\) 是有界数列, 这时 \(a^{\ast}\) 和 \(a_\ast\) 都是有限值,并且对任意 \(\epsilon>0\), \(\lbrace a_n \rbrace\) 中除有限项外都落在 \((a_\ast -\epsilon, a^\ast+\epsilon)\) 中,如下图阴影部分所示:
(该图来自维基百科: https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_superior_and_limit_inferior)
接下来给出上、下极限的性质:
性质2.4 设 \(\lbrace a_n \rbrace\) 和 \(\lbrace b_n \rbrace\) 是两个数列,则
(1) \(\liminf\limits_{n\to \infty} a_n \le \limsup\limits_{n\to \infty} a_n\);
(2) \(\lim\limits_{n\to \infty}a_n = a\) 当且仅当 \(\limsup\limits_{n\to \infty} a_n = \liminf\limits_{n\to \infty} a_n = a\), 这里 \(a\) 可取正负无穷;
(3) 当 \(n > N\) 时,有 \(a_n \le b_n\), 则 \[ \liminf\limits_{n\to \infty} a_n \le \liminf\limits_{n\to \infty} b_n, \ \limsup\limits_{n\to \infty} a_n \le \limsup\limits_{n\to \infty} b_n.\] 具体证明见:https://swt-2020.github.io/limit/Prop_2.4.pdf
三、数列上、下极限第二种定义方式
定理3.1 对数列 \(\lbrace a_n \rbrace\), 定义 \[\alpha_n = \inf\limits_{m\ge n} a_m = \inf\lbrace a_n,a_{n+1},a_{n+2},\cdots\rbrace,\] \[\beta_n = \sup\limits_{m\ge n} a_m = \sup\lbrace a_n,a_{n+1},a_{n+2},\cdots\rbrace,\] 则:
(1) \(\lbrace \alpha_n \rbrace\) 递增数列, \(\lbrace \beta_n \rbrace\) 递减数列;
(2) 上极限:\(a^\ast = \lim\limits_{n\to \infty} \alpha_n\), 下极限: \(a_\ast = \lim\limits_{n\to \infty} \beta_n\).
注:
1) 数列 \(\lbrace \alpha_n \rbrace\), \(\lbrace \beta_n \rbrace\) 刚开始看可能不太好理解,可以尝试像我上面写的一样,将其写成每一项形式,容易理解。
2) 上述定理3.1(2)也常常用来作为上下极限的定义,这时 \[ \limsup\limits_{n\to \infty} a_n := \lim_{n\to \infty} \sup\limits_{m\ge n} a_m = \inf_{n \ge 1} \sup\limits_{m\ge n} a_m,\] \[ \liminf\limits_{n\to \infty} a_n := \lim_{n\to \infty} \inf\limits_{m\ge n} a_m = \sup_{n \ge 1} \inf\limits_{m\ge n} a_m.\] 下图直观描述定理3.1意义下的上下极限,图片来自维基百科: https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_superior_and_limit_inferior(图片中用的数列为 \(\lbrace x_n \rbrace\),而我们选取的数列为 \(\lbrace a_n \rbrace\), 仅此差别而已。)
性质3.2(上、下极限的运算:重点!!!) 对数列 \(\lbrace a_n \rbrace\), \(\lbrace b_n \rbrace\) 有:
(1) \(\limsup\limits_{n\to \infty} (-a_n) = -\liminf\limits_{n\to \infty} a_n\), \(\liminf\limits_{n\to \infty} (-a_n) = -\limsup\limits_{n\to \infty} a_n\);
(2) \(\liminf\limits_{n\to \infty} a_n + \liminf\limits_{n\to \infty} b_n \le \liminf\limits_{n\to \infty} (a_n+b_n) \le \liminf\limits_{n\to \infty} a_n + \limsup\limits_{n\to \infty} b_n\),
\(\liminf\limits_{n\to \infty} a_n + \limsup\limits_{n\to \infty} b_n \le \limsup\limits_{n\to \infty} (a_n+b_n) \le \limsup\limits_{n\to \infty} a_n + \limsup\limits_{n\to \infty} b_n\);
(要求上述诸式的左、右端不是待定型,即不为 \((+\infty) + (-\infty)\) 或 \((-\infty) + (+\infty)\) 形式)
具体证明见:https://swt-2020.github.io/limit/Prop_4.2.pdf
(3) 设 \(\lbrace a_n \rbrace\) 和 \(\lbrace b_n \rbrace\) 均为非负数列,则
\(\liminf\limits_{n\to \infty} a_n \cdot \liminf\limits_{n\to \infty} b_n \le \liminf\limits_{n\to \infty} (a_nb_n) \le \liminf\limits_{n\to \infty} a_n \cdot \limsup\limits_{n\to \infty} b_n\),
\(\liminf\limits_{n\to \infty} a_n \cdot \limsup\limits_{n\to \infty} b_n \le \limsup\limits_{n\to \infty} (a_nb_n) \le \limsup\limits_{n\to \infty} a_n \cdot \limsup\limits_{n\to \infty} b_n\).
(要求上述诸式的左、右端不是待定型,即不为 \(0 \cdot \infty\) 形式)
四、函数在一点处的上、下极限
引理4.1 设 \(X \subset R^n\), 点 \(x_0\) 为集合 \(X\) 的一个聚点 当且仅当 存在点列 \(x_n\in X\) 且 \(x_n \ne x_0\ (n=1,2,3,\cdots)\), 使得 \(x_n\to x_0\ (n\to \infty)\).
(刻画数列极限和函数极限的关系)
Heine定理: 设函数 \(f\) 定义在 \(X \subset R^n\) 上, \(x_0\) 是 \(X\) 的一个聚点. 函数 \(f\) 在 \(x_0\) 处极限为 \(l\) 当且仅当 对任意点列 \(\lbrace x_n \rbrace \subset X\), \(x_n \ne x_0\ (n = 1,2,3,\cdots)\) 且 $x_n x_0 $, 数列 \(\lbrace f(x_n)\rbrace\) 收敛于 \(l\).
由数列上下极限的定义,刻画函数上、下极限如下:
设函数 \(f\) 定义在 \(X \subset R^n\) 上, \(x_0\) 是 \(X\) 的一个聚点. 分成以下两种情况讨论:
(1) 若 \(f\) 在 \(x_0\) 附近有界,则存在点列 \(\lbrace x_n \rbrace \subset X\), \(x_n \ne x_0\ (n = 1,2,3,\cdots)\), 使得 \(x_n \to x_0\), 并且数列 \(\lbrace f(x_n)\rbrace\) 收敛于某一个数 \(l\), 此时称 \(l\) 为函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的子极限;
(2) 若 \(f\) 在 \(x_0\) 附近无上(下)界,则存在点列 \(\lbrace x_n \rbrace \subset X\), \(x_n \ne x_0\ (n = 1,2,3,\cdots)\), \(x_n \to x_0\), 使得 \(f(x_n)\to +\infty(-\infty)\), 这时把 \(+\infty\) 和 \(-\infty\) 也看成是 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的子极限。
在此基础上,构造 \[ E = \lbrace l\in R_\infty: l \text{为} f \text{在} x_0 \text{处的子极限} \rbrace\] 由(1)(2)知,\(E\) 非空,类似数列上、下极限的定义,我们有: \(a^\ast = \sup E\), \(a_\ast = \inf E\), 分别称为 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的上、下极限,记为:
\[\limsup\limits_{x\to x_0} f(x) = a^\ast, \ \ \liminf\limits_{x\to x_0} f(x) = a_\ast \] 注:函数上、下极限说到底就是根据Heine定理通过构造数列定义出来的,相当于绕了一个弯,先用点列 \(\lbrace x_n \rbrace\) 收敛到 \(x_0\), 再用数列 \(f(x_n)\) 那一套定义函数上、下极限。
类似数列上、下极限的性质,我们有平行的结论:
(1) \(a^\ast \in E\);
(2) \(a_\ast \in E\);
定理4.2(上、下极限的等价形式) 设函数 \(f\) 定义在 \(X \subset R^n\) 上, 点 \(x_0\) 是 \(X\) 的一个聚点,则
\[\limsup\limits_{x\to x_0} f(x) = \max\lbrace \limsup\limits_{n\to \infty}f(x_n)| x_n\in X,x_n \ne x_0, \text{并且}x_n \to x_0\rbrace,\] \[\liminf\limits_{x\to x_0} f(x) = \min\lbrace \liminf\limits_{n\to \infty}f(x_n)| x_n\in X,x_n \ne x_0, \text{并且}x_n \to x_0\rbrace,\] 具体证明见:https://swt-2020.github.io/limit/Thm_4.2.pdf
注:定理4.2将函数的上、下极限和数列的上、下极限联系起来,其意义在于把函数上、下极限问题转化为数列上、下极限问题来处理。
例6: 设函数 \(f(x)\), \(g(x)\) 定义在 \(X\) 上,点 \(x_0\) 是 \(X\) 的一个聚点,则 \[ \liminf\limits_{x\to x_0} f(x) + \limsup\limits_{x\to x_0} g(x) \le \limsup\limits_{x\to x_0} (f(x)+g(x)) \le \limsup\limits_{x\to x_0} f(x) + \limsup\limits_{x\to x_0} g(x),\] \[ \liminf\limits_{x\to x_0} f(x) + \liminf\limits_{x\to x_0} g(x) \le \liminf\limits_{x\to x_0} (f(x)+g(x)) \le \liminf\limits_{x\to x_0} f(x) + \limsup\limits_{x\to x_0} g(x).\] (要求上述诸式的左、右端不是待定型,即不为 \((+\infty) + (-\infty)\) 或 \((-\infty) + (+\infty)\) 形式)
具体证明见:https://swt-2020.github.io/limit/Example.pdf
- 本文作者: swt_2020
- 本文链接: https://swt-2020.github.io/2020/10/11/limits/
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