这篇博客主要为了推广数学分析中连续性的概念，引出半连续性，并给出一些等价条件，并归纳整理半连续性所具有的性质。

一、上半连续函数和下半连续函数的定义

设 \(X \subset \mathbb{R}^n\), 函数 \(f: X\to \mathbb{R}\cup \lbrace -\infty,+\infty \rbrace\) 是广义实值函数， \(x_0 \in X\).
\(f\) 在 \(x_0\) 处连续： 对 \(\forall \epsilon>0\), \(\exists \delta >0\), 当 \(x \in X\), \(\lVert x-x_0 \rVert < \delta\) 时，有 \(f(x_0)-\epsilon < f(x) < f(x_0) + \epsilon\).
将连续性条件减弱，可得半连续性定义：
定义1.1（半连续函数） 设 \(f(x)\) 定义在 \(X \subset \mathbb{R}^n\) 上，在 \(x_0\) 及附近有定义，则
称 \(f\) 在 \(x_0\) 处上半连续： 对 \(\forall \epsilon>0\), \(\exists \delta >0\), 当 \(x \in X\), \(\lVert x-x_0 \rVert < \delta\) 时，有 \(f(x) < f(x_0) + \epsilon\).
称 \(f\) 在 \(x_0\) 处下半连续： 对 \(\forall \epsilon>0\), \(\exists \delta >0\), 当 \(x \in X\), \(\lVert x-x_0 \rVert < \delta\) 时，有 \(f(x_0)-\epsilon < f(x)\).
下图用来直观描述上、下半连续函数，图片来自维基百科： https://en.wikipedia.org/wiki/Semi-continuity
左图（上半连续函数），右图（下半连续函数）
        
注：
1) \(f\) 在 \(x_0\) 处上半连续, 也可简单描述为：对任意 \(y > f(x_0)\), 都存在 \(x_0\) 的一个邻域 \(U\), 使得 \(\forall x\in U\cap X\), 有 \(f(x) < y\);
2) \(f\) 在 \(x_0\) 处下半连续, 也可简单描述为：对任意 \(y < f(x_0)\), 都存在 \(x_0\) 的一个邻域 \(U\), 使得 \(\forall x\in U\cap X\), 有 \(y < f(x)\),
3) 从上述定义可知，\(f\) 在 \(x_0\) 处连续 当且仅当 \(f\) 在 \(x_0\) 处既上半连续又下半连续，
4) \(f\) 在 \(x_0\) 处下半连续 当且仅当 \(-f\) 在 \(x_0\) 处上半连续。

例1 考虑分段函数： \[ f(x) = \begin{cases} -1, & x <0 \\ 1, & x \ge 0 \end{cases} \] 则显然有 \(f\) 在 \(x_0 = 0\) 处是上半连续的， 但不是下半连续的。
例2 考虑分段函数： \[ f(x) = \begin{cases} 1, & x < 1 \\ 2, & x = 1 \\ \frac12, & x > 1 \end{cases} \] 可得 \(f\) 在 \(x_0 = 1\) 处是上半连续的， 但既不是左连续的，又不是右连续的。 （该例可用于澄清上、下半连续和左、右连续之间的差别)
例3 Dirichlet函数： \[ D(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 1, & x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q} \end{cases} \] 则 \(D(x)\) 在任一有理点处上半连续，在任一无理点处下半连续，但处处不连续。

例4 考虑符号函数： \[ sgn(x) = \begin{cases} -1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases} \] 则 \(sgn(x)\) 在 \(x_0 = 0\) 处既不是上半连续的，又不是下半连续的。

二、上、下半连续性的等价描述

定理2.1 设 \(f(x)\) 定义在 \(X \subset \mathbb{R}^n\) 上，\(x_0 \in X\)，则下列论述等价:
(1) \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处下半连续；
(2) \(f(x_0) \le \liminf\limits_{x\to x_0} f(x)\);
(3) 对任意点列 \(\lbrace x_n \rbrace\): \(x_n \in X\), \(x_n\to x_0\), 都有 \(f(x_0) \le \liminf\limits_{n\to \infty} f(x_n)\);
具体证明见：https://swt-2020.github.io/semicontinuous/Thm_2.1.pdf

定理2.2 设 \(f(x)\) 定义在 \(X \subset \mathbb{R}^n\) 上，\(x_0 \in X\)，则下列论述等价:
(1) \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处上半连续；
(2) \(\limsup\limits_{x\to x_0} f(x)\le f(x_0)\);
(3) 对任意点列 \(\lbrace x_n \rbrace\): \(x_n \in X\), \(x_n\to x_0\), 都有 \(\limsup\limits_{n\to \infty} f(x_n)\le f(x_0)\).
证明思路：只需考虑 \(-f\) 是下半连续的，运用定理2.1结论可证。

注：
1) 事实上，上、下半连续性最常用的定义方式是定理2.1(3)和定理2.2(3)用点列方式定义的。
2) \(f:X\to [-\infty,+\infty]\) 称为在 \(X\) 中是下半连续的，如果 \(f(x)\) 在 \(X\) 的任一点处都是下半连续的。 同理有，\(f:X\to [-\infty,+\infty]\) 称为在 \(X\) 中是上半连续的，如果 \(f(x)\) 在 \(X\) 的任一点处都是上半连续的。

定义2.3 广义实值函数 \(f:X\to [-\infty,+\infty]\) 的上图(epigraph)定义为 \[epi(f) = \lbrace (x,y):f(x)\le y,x\in X, y\in \mathbb{R}\rbrace\subset \mathbb{R}^{n+1}.\] \(f:X\to [-\infty,+\infty]\) 的下图(hypograph)定义为 \[hypo(f) = \lbrace (x,y):f(x)\ge y,x\in X, y\in \mathbb{R}\rbrace\subset \mathbb{R}^{n+1}.\]

对下半连续函数，有下述等价论述：
定理2.4 设 \(f:X\to [-\infty,+\infty]\)，其中\(X\)是闭集，则下面论述等价：
(1) \(f\) 在 \(X\) 中是下半连续的；
(2) \(epi(f)\) 是闭集；
(3) 对 \(\forall \alpha \in \mathbb{R}\), 下水平集 \(\lbrace x\in X:f(x) \le \alpha\rbrace\) 是闭集;
(4) 对 \(\forall \alpha \in \mathbb{R}\)， \(\lbrace x\in X:f(x) > \alpha\rbrace\) 是开集。
具体证明见：https://swt-2020.github.io/semicontinuous/Thm_2.4.pdf

同理，对上半连续函数而言，对称的有下述等价条件：
定理2.5 设 \(f:X\to [-\infty,+\infty]\)，其中\(X\)是闭集， 则下面论述等价：
(1) \(f\) 在 \(X\) 中是上半连续的；
(2) \(hypo(f)\) 是闭集；
(3) 对 \(\forall \alpha \in \mathbb{R}\), 上水平集 \(\lbrace x\in X:f(x) \ge \alpha\rbrace\) 是闭集;
(4) 对 \(\forall \alpha \in \mathbb{R}\)， \(\lbrace x\in X:f(x) < \alpha\rbrace\) 是开集。
证明思路：只需考虑 \(-f\) 是下半连续的，运用定理2.4结论即证。