前几节分别介绍了凸集、仿射集 和 锥 等概念和一些运算性质，这节在此基础上进一步研究凸集常用的性质。

一、 Caratheodory 定理

这一部分介绍凸几何上关于凸包的常用性质，如下：
定理1.1 （Caratheodory 定理【凸包】） 设集合 \(C \subset \mathbb{R}^n\), 则凸包 \(\mathrm{conv}(C)\) 中任意一点 \(x\) 都可以表示成 \(C\) 中至多 \(n+1\) 个点的凸组合。（用符号表示：\(\forall x\in \mathrm{conv}(C)\), 则 \(x = \sum_{i=1}^{n+1} \alpha_i x_i\),其中 \(\alpha_i\ge 0, x_i\in C,i=1,\cdots,n+1\), \(\sum_{i=1}^{n+1}\alpha_i = 1\).）
注：
1) 由凸包定义可知，凸包 \(\mathrm{conv}(C)\) 中任意一点都可以表示成 \(C\) 中任意有限个点的凸组合，而Caratheodory 定理将其有限个点的范围控制在至多有 \(n+1\) 个点的凸组合。
2) 下图给出刻画上述定理的一个图示，设 \(C = \lbrace (0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\rbrace\) 是 \(\mathbb{R}^2\) 的子集，则 \(\mathrm{conv}(C)\) 为下图中的正方形，考虑 \(x=(\frac14,\frac14)\), 则 \(x\) 可以表示为 \((0,0),(0,1),(1,0)\) 的凸组合。

对锥包 \(\mathrm{cone}(C)\) 而言，也有类似定理1.1的结论，即对锥包而言的Caratheodory 定理。
定理1.2（Caratheodory 定理【锥包】） 设集合 \(C \subset \mathbb{R}^n\), 则锥包 \(\mathrm{cone}(C)\) 中任意一点 \(x\) 都可以表示成 \(C\) 中至多 \(n\) 个点的锥组合。 （用符号表示：\(\forall x\in \mathrm{conv}(C)\), 则 \(x = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i x_i\),其中 \(\alpha_i\ge 0, x_i\in C,i=1,\cdots,n\).）

推论1.3 紧集的凸包仍然是紧集。

注： 闭集的凸包不一定是闭集，见反例如下：
取 \(\mathbb{R}^2\) 中的闭集 \(A = \lbrace(0,0)\rbrace \cup \lbrace (x_1,x_2)|x_1x_2 \ge 1,x_1\ge 0,x_2\ge 0\rbrace\). 则 \[\mathrm{conv}(A) = \lbrace(0,0)\rbrace \cup \lbrace (x_1,x_2)|x_1> 0,x_2> 0\rbrace.\] 显然 \(A\) 是闭集，然而 \(\mathrm{conv}(A)\) 不是闭集。

二、 投影定理

定理2.1（投影定理） 设集合 \(C\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的非空闭凸集。
(1) 对 \(\forall x\in \mathbb{R}^n\), 存在唯一的点 \(\pi_C (x)\in C\), 使得 \[\lVert x-\pi_C (x)\rVert_2 = \inf_{y\in C} \lVert x - y\rVert_2.\] 称 \(\pi_C (x)\) 是 \(x\) 到 \(C\) 上的投影.
(2) 对 \(\forall x\in \mathbb{R}^n\), 则点 \(z = \pi_C (x)\) 是 \(x\) 到 \(C\) 的投影 当且仅当 \(\forall y \in C\) 有 \(\langle x-z,y-z\rangle \le 0\).
(3) 将 \(\pi_C\) 看成映射 \(\pi_C:\mathbb{R}^n\to C\)，则 \(\pi_C\) 是连续且非扩张的，即 \(\lVert \pi_C (x) - \pi_C (y)\rVert \le \lVert x-y\rVert,\ \ \ \forall x,y\in \mathbb{R}^n\).

三、凸集分离定理

在介绍凸集分离定理之前，先引入超平面、半空间等概念。
1.超平面: \(\mathcal{H} = \lbrace x| a^Tx = b\rbrace\), 其中 \(a\in \mathbb{R}^n, a\ne 0\rbrace\) 且 \(b\in \mathbb{R}\).
几何解释：对 \(\forall x_o \in \mathcal{H}\), 则超平面可表示成下面一种形式： \[ \mathcal{H} = \lbrace x|a^T(x-x_0)=0\rbrace = x_0 + a^\perp, \text{其中} a^\perp=\lbrace v|a^Tv=0\rbrace,\] 可以看出超平面由 \(x_0\) 加上所有正交于法向量 \(a\) 的向量构成。
下图刻画 \(\mathbb{R}^2\) 中的超平面：

2.半空间: 一个超平面将 \(\mathbb{R}^n\) 划分成两个(闭)半空间，即 \[\mathcal{H}^+ = \lbrace x| a^Tx \ge b\rbrace, \ \ \ \ \ \ \mathcal{H}^- = \lbrace x| a^Tx \le b\rbrace,\] 其中 \(a\ne 0\).（至于开半空间无非将上述闭半空间中去掉等号即可。）

定义3.1（分离超平面） 设 \(\mathbb{R}^n\) 中两个不相交的非空集合 \(C\) 和 \(D\), 即 \(C\cap D = \emptyset\), 若存在 \(a\ne 0\) 和 \(b\) 使得 \[ a^Tx\le b,\forall x\in C;\ \ \ a^Tz \ge b, \forall z\in D.\] 则称超平面 \(\mathcal{H} = \lbrace x| a^Tx = b\rbrace\) 分离集合 \(C\) 和 \(D\).

定理3.2（凸集分离定理） 设 \(C\) 和 \(D\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中两个不相交的非空凸集, 则存在超平面将 \(C\) 和 \(D\) 分离。

定义3.3（严格分离超平面）若定义3.1中构造的超平面满足更强的条件，即存在 \(a\ne 0\) 和 \(b\) 使得 \[ a^Tx< b,\forall x\in C;\ \ \ a^Tz > b, \forall z\in D,\] 则称超平面 \(\mathcal{H} = \lbrace x| a^Tx = b\rbrace\) 严格分离集合 \(C\) 和 \(D\).
注： 一般情况下，两个不相交的凸集不一定能够被超平面严格分离，即使是闭凸集的情况，也不一定可以严格分离。见反例如下：
取 \(\mathbb{R}^n\) 中的集合 \(C = \lbrace (x,y)|xy\ge 1,x,y>0\), \(D = \lbrace (x,y)|x\le 0\rbrace\) 即可。

命题3.4 设 \(C\) 和 \(D\) 是两个不相交的非空闭凸集，且二者至少有一个是紧集，则存在超平面严格分离 \(C\) 和 \(D\).

命题3.5（点和闭凸集的严格分离） 设 \(C\subset \mathbb{R}^n\) 是闭凸集，\(x_0\notin C\), 则存在超平面严格分离 \(x_0\) 和 \(C\).

推论3.6 任意一个闭凸集 \(C\) 都是包含它的所有半空间的交： \[ C = \bigcap \lbrace \mathcal{H}|\mathcal{H}\text{是半空间}，C\subset \mathcal{H}\rbrace.\]

四、支撑超平面定理

定理4.1（支撑超平面定理） 设 \(C\subset \mathbb{R}^n\) 是非空凸集，\(x_0\in \partial C\)，则存在 \(a\ne 0\) 使得 \[a^Tx \le a^Tx_0,\forall x\in cl(C).\] 注： 这时称超平面 \(\mathcal{H} = \lbrace x| a^Tx = a^Tx_0\rbrace\) 是集合 \(C\) 在 \(x_0\) 处的支撑超平面。