这节介绍一类特殊的集合：锥，然后将其与凸集结合引出凸锥的概念，介绍其相关性质。

一、锥和凸锥

定义1.1（锥） 设集合 \(C\subset \mathbb{R}^n\). 对 \(\forall x \in C\) 和 \(\forall \theta \ge 0\), 都有 \(\theta x\in C\), 则称 \(C\) 为 锥(Cone). 进一步，若集合 \(C\) 既是锥，又是凸集，则称 \(C\) 是凸锥。
注：
1) 凸锥 = 锥 + 凸集；
2) 集合 \(C\) 是凸锥 等价于 对任意 \(x_1,x_2\in C\) 和 \(\theta_1,\theta_2 \ge 0\), 都有 \(\theta_1 x_1 + \theta_2x_2 \in C\).

类似凸集和仿射集，我们引出锥组合和锥包的概念。

定义1.2（锥组合） 设集合 \(C\subset \mathbb{R}^n\). 具有 \(\theta_1x_1 +\cdots+ \theta_kx_k\) 这种形式的点称为 \(x_1,\cdots,x_k\) 的 锥组合（或非负线性组合），其中 \(x_i \in C,\ i = 1,\cdots,k\) 以及 \(\theta_1,\cdots,\theta_k \ge 0\).
注：
1) \(C\) 为凸锥 当且仅当 \(C\) 包含其中任意两点的锥组合。
2) 通过归纳可得： 如果 \(C\) 为凸锥，则 \(C\) 包含其中任意有限个点的锥组合。

定义1.3（锥包） 设集合 \(C\subset \mathbb{R}^n\). 集合 \(C\) 的 锥包(Cone Hull) 定义为 \(C\) 中元素的所有锥组合构成的集合，记为 \(\mathrm{cone}(C)\): \[\mathrm{cone}(C) = \lbrace \theta_1x_1 + \cdots +\theta_kx_k| x_i\in C, \theta_i\ge 0, i=1,\cdots,k, \forall k \in \mathbb{N}\rbrace.\] 注：
1) 锥包 \(\mathrm{cone}(C)\) 是包含 \(C\) 的最小凸锥，即 \[\mathrm{cone}(C) = \bigcap\lbrace \mathcal{A}\ |\ \mathcal{A} \text{是凸锥}, C\subset \mathcal{A}\rbrace\] 2) 即使集合 \(C\subset \mathbb{R}^n\) 是紧凸集, 锥包 \(\mathrm{cone}(C)\) 也不一定是闭集。见反例如下：
取 \(C = \lbrace (x_1,x_2)| x_1^2 +(x_2-1)^2 \le 1\rbrace,\) 是紧凸集，而 \(\mathrm{cone}(C) = \lbrace (x_1,x_2)| x_2 >0\rbrace \cup \lbrace (0,0)\rbrace\) 不是闭集.

二、基本运算

命题2.1（（凸）锥的基本运算）
(1) 对任意 \(\alpha\in \mathcal{I}\), \(C_\alpha\) 都是（凸）锥，则 \(\cap_{\alpha\in\mathcal{I}}C_{\alpha}\) 也是（凸）锥；
(2) 若 \(C_1\) 和 \(C_2\) 是（凸）锥，则 Cartesian 积 \(C_1\times C_2\) 也是（凸）锥；
(3) 若 \(C_1\) 和 \(C_2\) 是（凸）锥，则 Minkowski 和 \(C_1+ C_2\) 也是（凸）锥；
(4) 若 \(C\) 是（凸）锥，则 \(\mathrm{cl}(C)\) 也是（凸）锥；
(5) 若 \(C\) 是（凸）锥, \(f\) 和 \(g\) 是仿射函数（这里假设维数匹配），则 \(C\) 在 \(f\) 下的像 \(f(C)\) 是 （凸）锥，\(C\) 在 \(g\) 下的原像 \(g^{-1}(C)\) 也是（凸）锥。

三、重要的例子

3.1（范数锥） 设 \(\lVert\cdot\rVert\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的范数，定义关于范数 \(\lVert\cdot\rVert\) 的范数锥 为 \[C = \lbrace (x,t)\in \mathbb{R}^{n+1} |\ \lVert x\rVert \le t\rbrace.\] 简单验证得 \(C\) 是一个凸锥。
注：(重要！！！) 范数锥定义中隐含着 \(t\ge 0\).
例1（二阶锥）：考虑由 Euclid 范数定义的范数锥，即 \[ C = \lbrace (x,t)\in \mathbb{R}^{n+1} |\ \lVert x\rVert_2 \le t\rbrace.\] 图形如下所示：

3.2（半正定锥） 用 \(S_+^n\) 表示对称半正定矩阵的集合： \[ S_+^n = \lbrace X\in S^n|\ X\succeq 0\rbrace, \] 其中 \(S^n\) 表示对称 \(n\times n\) 矩阵的集合，即 \(S^n = \lbrace X\in \mathbb{R}^{n\times n}|\ X=X^T\rbrace\).
则 \(S_+^n\) 是一个凸锥。

四、对偶锥（Dual Cone）

定义4.1 设 \(K\) 是一个锥，称集合 \[ K^* = \lbrace y|\ x^Ty\ge 0,\forall x\in K\rbrace\] 为 \(K\) 的对偶锥。
注：
(1) \(K^\ast\) 总是凸锥，即使 \(K\) 不是凸的；
(2) 从 \(K^* = \lbrace y|\ (-y)^Tx\le (-y)^T 0,\forall x\in K\rbrace\) 可以看出： \(y\in K^\ast\) 当且仅当 \(-y\) 是 \(K\) 在原点处的一个支撑超平面的法线。

例1（子空间） 设 \(V\subset \mathbb{R}^n\) 是子空间，显然也是锥，则 \(V\) 的对偶锥是它的正交补 \(V^\perp = \lbrace y|\ y^Tv=0,\forall v\in V\rbrace.\)

例2（非负象限） 非负象限 \(\mathbb{R}^n_+\) 显然是锥，它的对偶锥是它本身，即 \((\mathbb{R}^n_+)^\ast = \mathbb{R}^n_+\). 并称对偶锥为其本身的锥为自对偶锥。

例3（半正定锥） 设在 \(S^n\) 使用标准内积 \(\langle X,Y\rangle = \mathrm{tr}(XY) = \sum_{i,j=1}^{n}X_{ij}Y_{ij}\), 则半正定锥 \(S_+^n\) 是自对偶的，即 \((S_+^n)^\ast = S_+^n\).

例4（范数锥） 设 \(\lVert\cdot\rVert\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的范数，所对应的对偶范数 \(\lVert\cdot\rVert_\ast\) 定义为 \[ \lVert z\rVert_\ast = \sup_{\lVert x\rVert\le 1} z^Tx\] 则范数锥 \(K = \lbrace (x,t)\in \mathbb{R}^{n+1} |\ \lVert x\rVert \le t\rbrace\) 的对偶锥为 \[K^* = \lbrace (u,c)\in \mathbb{R}^{n+1} |\ \lVert u\rVert_* \le c\rbrace.\]

对偶锥满足下述一些基本性质：
命题4.2（对偶锥的基本性质）
(1) \(K^\ast\) 是凸锥；
(2) 若 \(K_1\subset K_2\), 则 \(K_2^\ast\subset K_1^\ast\);
(3) \(K^\ast\) 是闭集；
(4)