上一篇介绍了凸集及其相关性质，这节介绍一类特殊的凸集：仿射集，在此基础上引出仿射组合、仿射包的概念，然后介绍集合的一种特殊的拓扑结构：相对内部。

一、仿射集、仿射组合和仿射包

定义1.1（仿射集） 设集合 \(C\subset \mathbb{R}^n\). 若 \(C\) 中任意两个不同点的直线仍然落在集合 \(C\) 中， 即对 \(\forall x_1, x_2 \in C\) 和 \(\alpha \in \mathbb{R}\), 都有 \[ \alpha x_1 + (1-\alpha) x_2 \in C,\] 则称 \(C\) 为 仿射集(Affine Set).
注： 从仿射集的定义可知，仿射集都是凸集。

定义1.2（仿射组合） 设集合 \(C\subset \mathbb{R}^n\). 称点 \(\sum\limits_{i=1}^k \alpha_i x_i\) 为 集合 \(C\) 中 \(x_1,x_2,\cdots,x_k\) 的一个 仿射组合(Affine Combination)，其中 \(\alpha_i \in \mathbb{R},\ i=1,\cdots,k\) 以及 \(\sum\limits_{i=1}^k \alpha_i= 1\).   注：
1) 利用仿射集合的定义得，\(C\) 为仿射集 当且仅当 \(C\) 包含其中任意两点的仿射组合。
2) 通过归纳可得： 如果 \(C\) 为仿射集，则 \(C\) 包含其中任意有限个点的仿射组合（即 \(x_1,x_2,\cdots,x_k \in C\), 并且 \(\alpha_1+\cdots+\alpha_k = 1\), 则 \(\alpha_1x_1+\cdots+\alpha_k x_k\) 仍然在 \(C\) 中。）

定义1.3（仿射包） 设集合 \(C\subset \mathbb{R}^n\). 集合 \(C\) 的 仿射包(Affine Hull) 定义为 \(C\) 中任意有限个点的仿射组合所构成的集合，记为 \(\mathrm{aff}(C)\): \[\mathrm{aff}(C) = \lbrace \sum_{i=1}^k \alpha_i x_i| x_i\in C, i=1,\cdots,k, \sum_{i=1}^k \alpha_i= 1,\forall k \in \mathbb{N}\rbrace.\]

命题1.4（仿射包的本质特征） 设集合 \(C\subset \mathbb{R}^n\), 集合 \(C\) 的凸包 是 \(\mathbb{R}^n\) 包含 \(C\) 的所有凸集的交，即 \[\mathrm{aff}(C) = \bigcap\lbrace \mathcal{A}|\mathcal{A}\text{是仿射集}, C\subset \mathcal{A} \rbrace.\] 注：
1) 仿射包 \(\mathrm{aff}(C)\) 总是仿射集，不管 \(C\) 是否为仿射集；
2) 仿射包 \(\mathrm{aff}(C)\) 是包含 \(C\) 的最小仿射集;
3) 设 \(C\subset \mathbb{R}^n\)，\(\mathrm{conv}(C)\subset \mathrm{aff}(C)\);
4) 设 \(C\subset \mathbb{R}^n\)，\(\mathrm{aff}(C) = \mathrm{aff}(\mathrm{conv}(C)) = \mathrm{aff}(\mathrm{cl}(C))\);

二、仿射集的基本特征

定义2.1（仿射集的关联子空间） 设 \(C\) 是一个仿射集合， \(\forall x_0 \in C\), 则 \[ V = C-x_0 = \lbrace x-x_0|x\in C\rbrace\] 是一个线性子空间（简单验证 \(V\) 对加法、数乘封闭），并称 \(V\) 是仿射集 \(C\) 相关联的子空间。
因此，可将仿射集 \(C\) 换一种表示形式： \(C = V + x_0 = \lbrace v+x_0|v\in V\rbrace\), 其中 \(x_0\) 可以是 \(C\) 中的任意一点。
注：
(1) 给定一个仿射集 \(C\), 与它相关联的子空间 \(V\) 是唯一的。
(2) 定义仿射集 \(C\) 的维数为子空间 \(V = C-x_0\) 的维数，由注(1)可知仿射集维数的定义是 well-defined;
(3) 设 \(C\subset \mathbb{R}^n\) 是仿射集, 若 \(0\in C\), 则 \(C\) 本身就是一个线性子空间。进一步推广得，设 \(D\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的一子集，若 \(0\in D\), 则 \(\mathrm{aff}(D)\) 是一个线性子空间;
(4) 设 \(C\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的一子集（不必是仿射集），\(C\) 的仿射维数定义为仿射包 \(\mathrm{aff}(C)\) 的维数。【由于仿射包是仿射集，仿射包的维数即是与仿射包相关联的子空间的维数】

三、相对内部

定义3.1（相对内部） 设集合 \(C\in \mathbb{R}^n\), 称 \(x\) 是集合 \(C\) 的相对内点，若 \(x\in C\) 以及存在 \(r>0\) 使得 \(B(x;r)\cap \mathrm{aff}(C) \subset C\), 即 \(x\) 是集合 \(C\) 相对于 \(\mathrm{aff}(C)\) 的内点。
记 \[\mathrm{ri}(C) = \lbrace C\text{的所有相对内点}\rbrace = \lbrace x\in C|\ \exists r>0,s.t. B(x;r)\cap \mathrm{aff}(C) \subset C\rbrace,\] 称 \(\mathrm{ri}(C)\) 为 \(C\) 的相对内部。
注： 集合的相对内部推广了内部等拓扑性质，一个集合可能内部为空，但相对内部仍然存在。最典型的例子：对凸集而言，内部可能为空，如例1所示，但相对内部非空（这一性质非常重要，下一节重点介绍）。

例1 考虑 \(\mathbb{R}^3\) 中的位于 \((x_1,x_2)\) 平面的一个圆，即 \[C = \lbrace x\in \mathbb{R}^3|\ x_1^2+x_2^2\le 1,x_3=0\rbrace.\] 在 \(\mathbb{R}^3\) 中，\(\mathrm{aff}(C) = \lbrace x\in\mathbb{R}^3|\ x_3=0\rbrace\), 其中 \(\mathrm{int}(C) = \emptyset\), 但 \(\mathrm{ri}(C) = \lbrace x\in \mathbb{R}^3|\ x_1^2+x_2^2 < 1,x_3=0\rbrace\).

四、凸集+相对内部

这一部分主要研究对非空凸集而言，考虑其相对内部所具有的基本性质。

定理4.1（线段原理）
设 \(C\subset \mathbb{R}^n\) 是非空凸集，若 \(x\in \mathrm{ri}(C)\), \(y\in \mathrm{cl}(C)\), 则对 \(\forall\ 0< \alpha\le 1\), 有 \(\alpha x + (1-\alpha)y \in \mathrm{ri}(C)\), 换言之，连接 \(x\) 和 \(y\) 的线段，除 \(y\) 点外的所有点都属于 \(\mathrm{ri}(C)\).
注： \(y\) 点不一定在 \(\mathrm{ri}(C)\) 中，见下述例子： 取 \(\mathbb{R}^2\) 中的闭区间 \([a,b]\), 则 \(\mathrm{ri}(C) = (a,b)\), 这时取 \(y = b\) 即可。

推论4.2（相对内部的非空性）
设 \(C\subset \mathbb{R}^n\) 是非空凸集, 则 \(\mathrm{ri}(C)\) 是非空凸集，且 \(\mathrm{aff}(\mathrm{ri}(C)) = \mathrm{aff}(C)\).

定理4.3（延拓原理）
设 \(C\subset \mathbb{R}^n\) 是非空凸集, 则 \(x\in \mathrm{ri}(C)\) 当且仅当 以 \(x\) 点为端点，沿着凸集 \(C\) 内的任一线段延长一小段后仍属于 \(C\), 即 \(\forall y\in C\), 存在 \(\alpha >0\), 使得 \(x + \alpha (x-y) \in C\).

接下来将凸集的相对内部和闭包联系起来，给出下列运算规则：

命题4.4 设 \(C\subset \mathbb{R}^n\) 是非空凸集，则
(1) \(\mathrm{cl}(C) = \mathrm{cl}(\mathrm{ri}(C))\);
(2) \(\mathrm{ri}(C) = \mathrm{ri}(\mathrm{cl}(C))\);
(3) 设 \(D\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中另一个非空凸集，则下述三个命题等价：
1. \(\mathrm{ri}(C) = \mathrm{ri}(D)\);
2. \(\mathrm{cl}(C) = \mathrm{cl}(D)\);
3. \(\mathrm{ri}(C) \subset D \subset \mathrm{cl}(C)\).

命题4.5 设 \(C\)和 \(D\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中两个非空凸集，则
(a) \(\mathrm{ri}(C) \cap \mathrm{ri}(D) \subset \mathrm{ri}(C\cap D)\),    \(\mathrm{cl}(C\cap D) \subset \mathrm{cl}(C) \cap \mathrm{cl}(D)\);
进一步，若 \(\mathrm{ri}(C) \cap \mathrm{ri}(D) \ne \emptyset\), 则 \(\mathrm{ri}(C\cap D) = \mathrm{ri}(C) \cap \mathrm{ri}(D)\),    \(\mathrm{cl}(C\cap D) = \mathrm{cl}(C) \cap \mathrm{cl}(D)\).
(b) \(\mathrm{ri}(C+D) = \mathrm{ri}(C) + \mathrm{ri}(D)\),   \(\mathrm{cl}(C) + \mathrm{cl}(D) \subset \mathrm{cl}(C\cap D)\);
进一步，若 \(C\) 和 \(D\) 两集合中至少有一个是有界的，则 \(\mathrm{cl}(C) + \mathrm{cl}(D) =\mathrm{cl}(C\cap D)\).
(c) \(\mathrm{ri}(C\times D) = \mathrm{ri}(C) \times \mathrm{ri}(D)\),    \(\mathrm{cl}(C\times D) = \mathrm{cl}(C) \times \mathrm{cl}(D)\).

设集合 \(X\subset \mathbb{R}^n\), \(A\in \mathbb{R}^{m\times n}\), \(X\) 在 \(A\) 下的像为 \[A\cdot X = \lbrace Ax|\ x\in X\rbrace\] 设集合 \(Y\subset \mathbb{R}^m\), \(A\in \mathbb{R}^{m\times n}\), 则 \(Y\) 在 \(A\) 下的原像为 \[A^{-1}\cdot Y = \lbrace x|\ Ax\in Y\rbrace\]

命题4.6 设 \(C\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的非空凸集，\(D\) 是 \(\mathbb{R}^m\) 中的非空凸集，\(A\in \mathbb{R}^{m\times n}\), 则
(i) \(A\cdot \mathrm{ri}(C) = \mathrm{ri}(A\cdot C)\);
(ii) \(A\cdot \mathrm{cl}(C) \subset \mathrm{cl}(A\cdot C)\), 进一步，若 \(C\) 是有界集，则 \(A\cdot \mathrm{cl}(C) = \mathrm{cl}(A\cdot C)\).
(iii) \(A^{-1}\cdot \mathrm{ri}(D) = \mathrm{ri}(A^{-1}\cdot D)\),   \(A^{-1}\cdot \mathrm{cl}(D) = \mathrm{cl}(A^{-1}\cdot D)\).